正確答案： C
-
-
我覺得這題選C吧，環R和環S同構，說明它們的結構完全一樣，運算規則也都對應上了。如果R是個域，那它里面每個非零元都有逆元，乘法也滿足交換律，這些性質在同構映射下肯定會被保留下來。因為同構就是一種保持代數結構的一一對應，所以S也應該滿足域的所有條件，不可能說結構一樣但一個能叫域另一個不行，所以S一定是域
-
從抽象代數的角度看，同構的兩個環在代數意義上是同一個東西，只是元素名字不同而已。如果R是域，那S通過同構關系自然繼承所有域的特性。比如R中任意兩個非零元相乘不為零，S中也一樣；R中每個非零元都有乘法逆元，S中的對應元也有。這種結構性質不會因為換了個名字就消失，因此S必定也是域，選項C才是正確答案
-
這題其實考的是同構的本質。很多人覺得同構只是長得像，但實際上它是結構上的完全等價。如果R是域，說明它滿足域的全部公理，而環同構保證了加法和乘法的運算規律在S中完全再現。也就是說，S也會有乘法單位元，每個非零元都可逆，乘法還滿足交換性。這些都不是大概率事件，而是必然結果，所以S不可能不是域，答案應該是C沒錯
-
我一開始也糾結是選C還是D，后來想想同構不是簡單的相似，而是代數結構的完全復制。R是域意味著它有單位元，乘法可逆，沒有零因子等等，而同構映射會把這些性質原封不動地搬到S上。比如R里的a≠0有逆元a??，那么S里對應的元素f(a)也一定有f(a??)作為它的逆元。所以說S不可能漏掉這些性質，答案只能是C，S一定是域