∵△ACE,△BCF都是等邊三角形, ∴AC=EC,BC=FC,ACE=BCF=60°, ∴∠ACE+∠ACB=∠BCF+∠ACB, ∴△ACB≌△ECF, ∴BE=AF.
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我覺得可以從向量的角度來思考這個問題，比純幾何更直接。假設點C為坐標原點(0,0)，點A在x軸上為(a,0)，點B在y軸上為(0,b)，那么AC=a，BC=b。接著構造等邊三角形△ACE，由于是在Rt△ABC外側，E點的位置可以通過將向量AC旋轉-60度（即順時針60度）得到，同理F點由向量BC旋轉60度獲得。利用向量旋轉公式計算出E和F的坐標后，再求出向量BE和AF，進而計算它們的長度和夾角。結果往往會發現|BE|=|AF|，也就是說這兩條線段相等，這是這類題常見的結論，背后體現了幾何變換中的對稱美
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這題看著有點復雜其實思路還挺清晰的，首先Rt△ABC是直角三角形，直角在C點，所以AC和BC是兩條直角邊。然后以這兩條邊為邊向外作等邊三角形，也就是說△ACE和△BCF都是等邊的，每個角都是60度，邊長分別等于AC和BC。接下來連接BE和AF，這時候你可以考慮用全等三角形或者旋轉的思想來分析這兩個線段的關系，比如可以嘗試證明△ACF和△ECB全等，利用SAS判定，因為AC=EC，BC=FC，夾角之間可能存在60度加直角的轉化關系，從而得出BE=AF
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這種幾何題我見得多了，屬于典型的構造等邊三角形+連線探究性質的類型。核心思想往往是利用旋轉對稱性。比如把整個△ACF繞著點C順時針旋轉60度，可能會和另一個圖形重合，因為等邊三角形本身就具有旋轉60度不變的特性。具體來說，由于△ACE是等邊的，那么把CA旋轉60度就能得到CE；同理，CB旋轉60度得CF。這樣AF這條線段經過相應的旋轉變換后可能剛好對應到BE，說明AF和BE不僅長度相等，而且它們之間的夾角可能是60度或者別的特殊角度，這取決于旋轉方向和角度，值得深入推導一下
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C是直角頂點，AC和BC是直角邊，然后以它們為邊往外做等邊三角形，注意方向不能錯，必須是在三角形外部。比如從AC出發，逆時針或順時針構造等邊△ACE，同理對BC構造△BCF。連結BE和AF之后，通常這種題會問它們是否相等或者夾角多少，雖然題目沒說完，但大概率是要研究BE和AF的數量或位置關系。可以通過坐標法來解，設C在原點，A在x軸，B在y軸，再算出E和F的坐標，最后用距離公式驗證BE和AF是否相等
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